Francisco Costa praticamente nasceu com uma bola de andebol nas mãos. Filho de Ricardo Costa, ex-internacional português e actual treinador do Sporting CP, desde cedo se apaixonou pela modalidade. Via todos os jogos do pai, frequentava os treinos e foi ainda em Espanha que começou a praticar a modalidade, no Colégio Teresiano de León. No regresso da família a Portugal, ingressou no andebol do Colégio dos Carvalhos, passou pelo FC Gaia e acabou por se estrear na equipa sénior do FC Porto com apenas 15 anos.

Chegou ao Sporting CP em julho de 2021, após meia temporada na AA Avanca e brilhou de imediato de Leão ao peito, bem como nos Europeus de sub-19 e sub-20, onde foi o maior destaque da selecção portuguesa. A época 2021/22 terminou com a conquista da Taça de Portugal pelo Sporting, prova que voltou a conquistar em 2022/23. Daí para cá conquistou todas as provas nacionais pelo Sporting CP e internacionalmente, depois de muitas nomeações e prémios individuais enquanto jovem promessa do andebol mundial, ajudou Portugal a alcançar um inédito 4.º lugar no Campeonato do Mundo, confirmando que já é um valor mais do que seguro.