Francisco Costa praticamente nasceu com uma bola de andebol nas mãos. Filho de Ricardo Costa, ex-internacional português e actual treinador do Sporting CP, desde cedo se apaixonou pela modalidade. Via todos os jogos do pai, frequentava os treinos e foi ainda em Espanha que começou a praticar a modalidade, no Colégio Teresiano de León. No regresso da família a Portugal, igressou no andebol do Colégio dos Carvalhos, passou pelo FC Gaia e acabou por se estrear na equipa sénior do FC Porto com apenas 15 anos.

Chegou ao Sporting CP em julho de 2021, após meia temporada na AA Avanca e em agosto brilhou na selecção nacional de sub-19, sendo nomeado para o 7 ideal do campeonato da Europa. Na época transacta voltou a brilhar numa prova internacional de selecções (o Euro de sub-20), integrou mais uma vez a equipa ideal da prova e foi o melhor marcador de uma competição onde os lusos foram vice-campeões da Europa. A época 2021/22 terminou com a conquista da Taça de Portugal pelo Sporting, prova que voltou a conquistar na época passada. O jovem de 18 anos foi considerado, em dezembro de 2022, o melhor lateral direito jovem do Mundo pelo site Handball Planet e foi 2.º classificado na eleição do melhor jovem jogador do Mundo.